Khoảng cách Euclide là khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Euclide. Không gian Euclide ban đầu được nhà toán học Hy Lạp Euclid nghĩ ra vào khoảng năm 300 B.C.E. để nghiên cứu các mối quan hệ giữa các góc và khoảng cách. Hệ thống hình học này vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay và là hệ thống mà học sinh trung học thường học nhất. Hình học Euclide đặc biệt áp dụng cho không gian hai và ba chiều. Tuy nhiên, nó có thể dễ dàng được khái quát hóa cho kích thước thứ tự cao hơn.
Tính khoảng cách Euclide cho một chiều. Khoảng cách giữa hai điểm trong một chiều chỉ đơn giản là giá trị tuyệt đối của chênh lệch giữa các tọa độ của chúng. Về mặt toán học, điều này được hiển thị là | p1 - q1 | Trong đó p1 là tọa độ đầu tiên của điểm thứ nhất và q1 là tọa độ đầu tiên của điểm thứ hai. Chúng tôi sử dụng giá trị tuyệt đối của chênh lệch này vì khoảng cách thường được coi là chỉ có giá trị không âm.
Lấy hai điểm P và Q trong không gian Euclide hai chiều. Chúng ta sẽ mô tả P với tọa độ (p1, p2) và Q với tọa độ (q1, q2). Bây giờ xây dựng một đoạn đường với các điểm cuối của P và Q. Đoạn đường này sẽ tạo thành cạnh huyền của một tam giác vuông. Mở rộng kết quả thu được ở Bước 1, chúng tôi lưu ý rằng độ dài của các chân của tam giác này được cho bởi | p1 - q1 | và | p2 - q2 |. Khoảng cách giữa hai điểm sau đó sẽ được đưa ra là độ dài của cạnh huyền.
Sử dụng định lý Pythagore để xác định độ dài của cạnh huyền ở Bước 2. Định lý này nói rằng c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 trong đó c là độ dài của một tam giác vuông cạnh phải và a, b là độ dài của cạnh kia hai chân. Điều này cho ta c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Do đó, khoảng cách giữa 2 điểm P = (p1, p2) và Q = (q1, q2) trong không gian hai chiều là ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Mở rộng kết quả của Bước 3 đến không gian ba chiều. Khoảng cách giữa các điểm P = (p1, p2, p3) và Q = (q1, q2, q3) sau đó có thể được đưa ra là ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Tổng quát hóa giải pháp trong Bước 4 cho khoảng cách giữa hai điểm P = (p1, p2, ..., pn) và Q = (q1, q2, ..., qn) theo n chiều. Giải pháp chung này có thể được đưa ra là ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).