Nếu bạn lấy một hình vuông và vẽ hai đường chéo, chúng sẽ cắt nhau ở giữa và tạo thành bốn hình tam giác vuông. Hai đường chéo chéo nhau ở 90 độ. Bạn có thể đoán một cách trực giác rằng hai đường chéo của một khối lập phương, mỗi đường chạy từ một góc của khối tới góc đối diện của nó và giao nhau ở trung tâm, cũng sẽ cắt nhau theo góc vuông. Bạn sẽ bị nhầm lẫn. Xác định góc mà hai đường chéo trong khối lập phương giao nhau phức tạp hơn một chút so với cái nhìn đầu tiên, nhưng nó thực sự tuyệt vời để hiểu các nguyên tắc hình học và lượng giác.
Xác định chiều dài của một cạnh là một đơn vị. Theo định nghĩa, mỗi cạnh trên khối lập phương có chiều dài giống hệt nhau của một đơn vị.
Sử dụng định lý Pythagore để xác định độ dài của đường chéo chạy từ một góc, đến góc đối diện trên cùng một mặt. Gọi đây là một đường chéo ngắn, vì lợi ích của sự rõ ràng. Mỗi cạnh của tam giác vuông được tạo thành là một đơn vị, do đó đường chéo phải bằng √2.
Sử dụng định lý Pythagore để xác định độ dài của đường chéo chạy từ góc này sang góc đối diện của mặt đối diện. Gọi đây là một đường chéo dài. Một bạn có một tam giác vuông có một cạnh bằng 1 đơn vị và một bên bằng một đường chéo ngắn, các đơn vị ”2. Bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của các cạnh, do đó cạnh huyền phải là √3. Mỗi đường chéo chạy từ một góc của khối tới góc đối diện dài is3 đơn vị.
Vẽ một hình chữ nhật để thể hiện hai đường chéo dài cắt nhau ở giữa khối lập phương. Bạn muốn tìm góc giao nhau của họ. Hình chữ nhật này sẽ cao 1 đơn vị và rộng √2 đơn vị. Các đường chéo dài chia đôi nhau ở trung tâm của hình chữ nhật này và tạo thành hai loại hình tam giác khác nhau. Một trong những hình tam giác này có một cạnh bằng một đơn vị và hai cạnh còn lại bằng √3 / 2 (một nửa chiều dài của một đường chéo dài). Mặt kia cũng có hai cạnh bằng √3 / 2 nhưng mặt kia của nó bằng √2. Bạn chỉ cần phân tích một trong các hình tam giác, vì vậy hãy lấy cái đầu tiên và giải cho góc chưa biết.
Sử dụng công thức lượng giác c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C để giải cho góc chưa biết của tam giác này. C = 1 và cả a và b đều bằng √3 / 2. Cắm các giá trị này vào phương trình, bạn sẽ xác định rằng cosin của góc chưa biết của bạn là 1/3. Lấy cosin nghịch đảo bằng 1/3 cho góc 70,5 độ.