Cách tính tổng của một chuỗi hình học

NộI Dung

• Tìm phần tử thứ n trong một loạt hình học
• Tính tổng của một chuỗi hình học

Trong toán học, một chuỗi là bất kỳ chuỗi số nào được sắp xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm. Một chuỗi trở thành một chuỗi hình học khi bạn có thể có được mỗi số bằng cách nhân số trước đó với một yếu tố chung. Ví dụ: loạt 1, 2, 4, 8, 16. . . là một chuỗi hình học với hệ số chung 2. Nếu bạn nhân bất kỳ số nào trong chuỗi với 2, bạn sẽ nhận được số tiếp theo. Ngược lại, chuỗi 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . không phải là hình học vì không có yếu tố chung giữa các số. Một chuỗi hình học có thể có một yếu tố chung phân đoạn, trong trường hợp đó, mỗi số liên tiếp nhỏ hơn số trước đó. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . là một ví dụ Yếu tố phổ biến của nó là 1/2.

Thực tế là một chuỗi hình học có một yếu tố chung cho phép bạn làm hai việc. Đầu tiên là tính toán bất kỳ phần tử ngẫu nhiên nào trong chuỗi (mà các nhà toán học muốn gọi phần tử "thứ n") và thứ hai là tìm tổng của chuỗi hình học cho đến phần tử thứ n. Khi bạn tổng hợp chuỗi bằng cách đặt dấu cộng giữa mỗi cặp số hạng, bạn biến chuỗi thành chuỗi hình học.

Tìm phần tử thứ n trong một loạt hình học

Nói chung, bạn có thể biểu diễn bất kỳ chuỗi hình học nào theo cách sau:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ . . .

trong đó "a" là thuật ngữ đầu tiên trong chuỗi và "r" là yếu tố phổ biến. Để kiểm tra điều này, hãy xem xét chuỗi trong đó a = 1 và r = 2. Bạn nhận được 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . nó hoạt động

Khi đã thiết lập điều này, giờ đây có thể rút ra một công thức cho số hạng thứ n trong chuỗi (x_{viết sai rồi}).

x_{viết sai rồi} = ar^(n-1)

Số mũ là n - 1 chứ không phải n để cho phép số hạng đầu tiên trong chuỗi được viết là ar⁰, bằng "a."

Kiểm tra điều này bằng cách tính toán số 4 trong chuỗi ví dụ.

x₄ = (1) • 2³ = 8.

Tính tổng của một chuỗi hình học

Nếu bạn muốn tổng hợp một chuỗi phân kỳ, là một chuỗi có tỷ lệ chung lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn -1, bạn chỉ có thể thực hiện tối đa số lượng điều khoản hữu hạn. Tuy nhiên, có thể tính tổng của một chuỗi hội tụ vô hạn, tuy nhiên, đây là một chuỗi có tỷ lệ chung giữa 1 và -1.

Để phát triển công thức tính tổng hình học, hãy bắt đầu bằng cách xem xét những gì bạn đang làm. Bạn đang tìm kiếm tổng số các bổ sung sau:

a + ar + ar² + ar³ +. . . ar^(n-1)

Mỗi thuật ngữ trong chuỗi là ar^kvà k đi từ 0 đến n-1. Công thức tính tổng của chuỗi sử dụng dấu sigma vốn - - có nghĩa là thêm tất cả các thuật ngữ từ (k = 0) đến (k = n - 1).

∑ar^k = a

Để kiểm tra điều này, hãy xem xét tổng của 4 số hạng đầu tiên của chuỗi hình học bắt đầu từ 1 và có hệ số chung là 2. Trong công thức trên, a = 1, r = 2 và n = 4. Cắm vào các giá trị này, bạn được:

1 • = 15

Điều này rất dễ để xác minh bằng cách tự thêm các số trong chuỗi. Trong thực tế, khi bạn cần tổng của một chuỗi hình học, việc tự thêm các số sẽ dễ dàng hơn khi chỉ có một vài số hạng. Tuy nhiên, nếu sê-ri có số lượng lớn các thuật ngữ, việc sử dụng công thức tính tổng hình học sẽ dễ dàng hơn nhiều.