Một hàm biểu thị mối quan hệ giữa các hằng số và một hoặc nhiều biến. Ví dụ, hàm f (x) = 5x + 10 biểu thị mối quan hệ giữa biến x và hằng số 5 và 10. Được gọi là đạo hàm và được biểu thị là dy / dx, df (x) / dx hoặc f '(x), sự khác biệt tìm thấy tốc độ thay đổi của một biến đối với biến khác - trong ví dụ, f (x) đối với x. Sự khác biệt rất hữu ích cho việc tìm giải pháp tối ưu, nghĩa là tìm các điều kiện tối đa hoặc tối thiểu. Một số quy tắc cơ bản tồn tại liên quan đến chức năng khác biệt.
Phân biệt một hàm hằng. Đạo hàm của một hằng số bằng không. Ví dụ: nếu f (x) = 5, thì f Hầm (x) = 0.
Áp dụng quy tắc sức mạnh để phân biệt một chức năng. Quy tắc công suất nói rằng nếu f (x) = x ^ n hoặc x được nâng lên lũy thừa n, thì f (x) = nx ^ (n - 1) hoặc x được nâng lên lũy thừa (n - 1) và nhân với n . Ví dụ: nếu f (x) = 5x, thì f (x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Tương tự, nếu f (x) = x ^ 10, thì f (x) = 9x ^ 9; và nếu f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, thì f (x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.
Tìm đạo hàm của hàm bằng quy tắc sản phẩm. Vi phân của sản phẩm không phải là sản phẩm của vi phân của các thành phần riêng lẻ: Nếu f (x) = uv, trong đó u và v là hai hàm riêng biệt, thì f (x) không bằng f (u) nhân với f (v). Thay vào đó, đạo hàm của một sản phẩm có hai hàm là lần đầu tiên đạo hàm của lần thứ hai, cộng với lần thứ hai là đạo hàm của hàm thứ nhất. Ví dụ: nếu f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), đạo hàm của hai hàm lần lượt là 2x + 5 và 3x ^ 2. Sau đó, sử dụng quy tắc sản phẩm, f (x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.
Lấy đạo hàm của hàm bằng quy tắc thương. Một thương số là một chức năng chia cho một chức năng khác. Đạo hàm của một thương số bằng với mẫu số nhân với đạo hàm của tử số trừ đi tử số nhân với đạo hàm của mẫu số, sau đó chia cho mẫu số bình phương. Ví dụ: nếu f (x) = (x ^ 2 + 4x) / (x ^ 3), các đạo hàm của tử số và hàm mẫu số lần lượt là 2x + 4 và 3x ^ 2. Sau đó, sử dụng quy tắc thương, f (x) = / (x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) / x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) / x ^ 6.
Sử dụng các dẫn xuất phổ biến. Các đạo hàm của các hàm lượng giác phổ biến, là các hàm của các góc, không cần xuất phát từ các nguyên tắc đầu tiên - các đạo hàm của sin x và cos x lần lượt là cos x và -sin x. Đạo hàm của hàm số mũ là chính hàm số - f (x) = f, (x) = e ^ x, và đạo hàm của hàm logarit tự nhiên, ln x, là 1 / x. Ví dụ: nếu f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, thì f (x) = cos x + 2x - 4.