Đa thức bao thanh toán giúp các nhà toán học xác định các số không, hoặc các giải pháp, của một hàm. Các số 0 này cho thấy những thay đổi quan trọng trong việc tăng và giảm tỷ lệ và thường đơn giản hóa quá trình phân tích. Đối với đa thức bậc ba hoặc cao hơn, có nghĩa là số mũ cao nhất của biến là ba hoặc lớn hơn, bao thanh toán có thể trở nên tẻ nhạt hơn. Trong một số trường hợp, các phương pháp nhóm rút ngắn số học, nhưng trong các trường hợp khác, bạn có thể cần biết thêm về hàm hoặc đa thức, trước khi bạn có thể tiến hành phân tích thêm.
Phân tích đa thức để xem xét bao thanh toán bằng cách nhóm. Nếu đa thức ở dạng loại bỏ yếu tố chung lớn nhất (GCF) khỏi hai thuật ngữ đầu tiên và hai thuật ngữ cuối cho thấy một yếu tố phổ biến khác, bạn có thể sử dụng phương pháp nhóm. Chẳng hạn, hãy để F (x) = x³ - x² - 4x + 4. Khi bạn loại bỏ GCF khỏi hai thuật ngữ đầu tiên và cuối cùng, bạn nhận được các điều sau: x² (x - 1) - 4 (x - 1). Bây giờ bạn có thể kéo ra (x - 1) từ mỗi phần để lấy, (x² - 4) (x - 1). Sử dụng sự khác biệt của các phương pháp bình phương, bạn có thể đi xa hơn: (x - 2) (x + 2) (x - 1). Một khi mỗi yếu tố ở dạng nguyên tố hoặc không chính xác, bạn đã hoàn thành.
Tìm kiếm một sự khác biệt hoặc tổng của các hình khối. Nếu đa thức chỉ có hai số hạng, mỗi số có một khối hoàn hảo, bạn có thể tính hệ số đó dựa trên các công thức khối đã biết. Đối với tổng, (x³ + y³) = (x + y) (x² - xy + y²). Đối với sự khác biệt, (x³ - y³) = (x - y) (x² + xy + y²). Ví dụ: đặt G (x) = 8x - 125. Sau đó, việc xác định đa thức bậc ba này dựa vào sự khác biệt của các hình khối như sau: (2x - 5) (4x² + 10x + 25), trong đó 2x là căn bậc hai của 8x và 5 là khối lập phương của 125. Vì 4x² + 10x + 25 là số nguyên tố, bạn đã thực hiện bao thanh toán.
Xem nếu có một GCF chứa một biến có thể làm giảm mức độ của đa thức. Chẳng hạn, nếu H (x) = x³ - 4x, bao gồm cả GCF của phiên bản x, thì bạn sẽ nhận được x (x² - 4). Sau đó, sử dụng sự khác biệt của kỹ thuật bình phương, bạn có thể chia nhỏ đa thức thành x (x - 2) (x + 2).
Sử dụng các giải pháp đã biết để giảm mức độ của đa thức. Ví dụ: đặt P (x) = x³ - 4x² - 7x + 10. Vì không có GCF hoặc chênh lệch / tổng khối, bạn phải sử dụng thông tin khác để tính hệ số đa thức. Khi bạn phát hiện ra rằng P (c) = 0, bạn biết (x - c) là một yếu tố của P (x) dựa trên "Định lý nhân tố" của đại số. Do đó, tìm một "c." Trong trường hợp này, P (5) = 0, vì vậy (x - 5) phải là một yếu tố. Sử dụng phép chia tổng hợp hoặc dài, bạn có được thương số (x² + x - 2), yếu tố này thành (x - 1) (x + 2). Do đó, P (x) = (x - 5) (x - 1) (x + 2).