Cách tính quỹ đạo

NộI Dung

• Các phương trình động học
• Ví dụ về chuyển động của đạn
• Tính toán quỹ đạo

Chuyển động đạn đề cập đến chuyển động của một hạt được truyền với vận tốc ban đầu nhưng sau đó không chịu lực nào ngoài lực hấp dẫn.

Điều này bao gồm các vấn đề trong đó một hạt được ném ở góc từ 0 đến 90 độ so với phương ngang, với phương ngang thường là mặt đất. Để thuận tiện, những viên đạn này được cho là đi trong (x, y) máy bay, với x đại diện cho chuyển vị ngang và y chuyển vị dọc.

Đường đi của một viên đạn được gọi là quỹ đạo. (Lưu ý rằng liên kết phổ biến trong "đạn" và "quỹ đạo" là "-ject", từ tiếng Latin có nghĩa là "ném". Để đẩy ai đó theo nghĩa đen là ném anh ta ra.) Điểm xuất phát của đạn trong các vấn đề trong đó bạn cần tính toán quỹ đạo thường được giả định là (0, 0) cho đơn giản trừ khi có quy định khác.

Quỹ đạo của một viên đạn là một parabola (hoặc ít nhất là dấu vết một phần của parabola) nếu hạt được phóng theo cách có thành phần chuyển động ngang không khác nhau và không có sức cản không khí ảnh hưởng đến hạt.

Các phương trình động học

Các biến quan tâm trong chuyển động của hạt là tọa độ vị trí của nó x và y, vận tốc của nó vvà gia tốc của nó một, tất cả liên quan đến một thời gian đã qua t kể từ khi bắt đầu vấn đề (khi hạt được phóng hoặc phát hành). Lưu ý rằng thiếu sót về khối lượng (m) ngụ ý rằng trọng lực trên Trái đất hoạt động độc lập với đại lượng này.

Cũng lưu ý rằng các phương trình này bỏ qua vai trò của sức cản không khí, tạo ra lực kéo đối nghịch với chuyển động trong các tình huống Trái đất ngoài đời thực. Yếu tố này được giới thiệu trong các khóa học cơ học cấp cao hơn.

Các biến được cung cấp một chỉ mục "0" đề cập đến giá trị của đại lượng đó tại thời điểm t = 0 và là hằng số; thông thường, giá trị này là 0 nhờ hệ tọa độ được chọn và phương trình trở nên đơn giản hơn nhiều. Gia tốc được coi là hằng số trong các vấn đề này (và theo hướng y và bằng -g, hoặc là Cẩu9,8 m / s², gia tốc do trọng lực gần bề mặt Trái đất).

Chuyển động ngang:

x = x₀ + v_x t

Chuyển động dọc:

Ví dụ về chuyển động của đạn

Chìa khóa để có thể giải quyết các vấn đề bao gồm các tính toán quỹ đạo là biết rằng các thành phần chuyển động ngang (x) và dọc (y) có thể được phân tích riêng, như được hiển thị ở trên, và những đóng góp tương ứng của chúng cho tổng thể chuyển động gọn gàng vào cuối vấn đề.

Các vấn đề về chuyển động của vật phóng được tính là các sự cố rơi tự do bởi vì, bất kể mọi thứ trông như thế nào sau thời gian t = 0, lực duy nhất tác dụng lên vật chuyển động là trọng lực.

Tính toán quỹ đạo

1. Các bình đựng nhanh nhất trong bóng chày có thể ném một quả bóng với chỉ hơn 100 dặm một giờ, hoặc 45 m / s. Nếu một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên với tốc độ này, nó sẽ cao bao nhiêu và mất bao lâu để trở về điểm mà nó được thả ra?

Đây v_y0 = 45 m / s, -g = Mạnh9,8 m / s và số lượng quan tâm là chiều cao cuối cùng, hoặc y và tổng thời gian trở lại Trái đất. Tổng thời gian là một phép tính gồm hai phần: thời gian lên tới y và thời gian quay lại y₀ = 0. Đối với phần đầu tiên của vấn đề, v_y, khi bóng đạt đến độ cao cực đại, bằng 0.

Bắt đầu bằng cách sử dụng phương trình v_y² = v_0y² - 2g (y - y₀) và cắm vào các giá trị bạn có:

0 = (45)² - (2) (9,8) (y - 0) = 2,025 - 19,6y

y = 103,3 m

Phương trình v_y = v_0y - gt cho thấy thời gian t này mất là (45 / 9,8) = 4,6 giây. Để có được tổng thời gian, hãy thêm giá trị này vào thời gian để bóng rơi tự do về điểm bắt đầu. Điều này được đưa ra bởi y = y₀ + v_0yt - (1/2) gt² , bây giờ, bởi vì quả bóng vẫn còn ngay lập tức trước khi nó bắt đầu giảm mạnh, v_0y = 0.

Giải (103.3) = (1/2) gt² cho t cho t = 4,59 giây.

Do đó, tổng thời gian là 4,59 + 4,59 = 9,18 giây. Kết quả có lẽ đáng ngạc nhiên là mỗi "chặng" của chuyến đi, lên và xuống, đồng thời nhấn mạnh thực tế rằng trọng lực là lực duy nhất chơi ở đây.

2. Phương trình phạm vi: Khi một viên đạn được phóng với vận tốc v₀ và một góc θ so với phương ngang, nó có các thành phần vận tốc ngang và dọc ban đầu v_0x = v₀(cos) và v_0y = v₀(tội θ).

Bởi vì v_y = v_0y - gtvà v_y = 0 khi đường đạn đạt đến chiều cao tối đa, thời gian tới chiều cao tối đa được cho bởi t = v_0y/ g. Do tính đối xứng, thời gian cần thiết để trở về mặt đất (hoặc y = y₀) chỉ đơn giản là 2t = 2v_0y/g.

Cuối cùng, kết hợp những thứ này với mối quan hệ x = v_0xt, khoảng cách di chuyển ngang cho góc phóng là

R (phạm vi) = 2 (v₀²tội lỗi θ ⋅ cos θ / g) = v₀²(sin2θ) / g

(Bước cuối cùng xuất phát từ danh tính lượng giác 2 sinθ cosθ = sin 2θ.)

Vì sin2θ có giá trị tối đa là 1 khi = 45 độ, sử dụng góc này tối đa hóa khoảng cách ngang cho một vận tốc nhất định tại

R = v₀²/ g.