NộI Dung
Trong toán học, đôi khi cần phải chứng minh liệu các hàm phụ thuộc hay độc lập với nhau theo nghĩa tuyến tính. Nếu bạn có hai hàm phụ thuộc tuyến tính, vẽ đồ thị phương trình của các hàm đó dẫn đến các điểm trùng nhau. Các hàm với phương trình độc lập không trùng nhau khi vẽ đồ thị. Một phương pháp xác định xem các hàm phụ thuộc hay độc lập là tính toán Wronskian cho các hàm.
Wronskian là gì?
Wronskian có hai hoặc nhiều hàm là cái được gọi là định thức, là hàm đặc biệt được sử dụng để so sánh các đối tượng toán học và chứng minh các sự kiện nhất định về chúng. Trong trường hợp của Wronskian, định thức được sử dụng để chứng minh sự phụ thuộc hoặc độc lập giữa hai hoặc nhiều hàm tuyến tính.
Ma trận Wronskian
Để tính toán Wronskian cho các hàm tuyến tính, các hàm cần phải được giải cho cùng một giá trị trong một ma trận chứa cả các hàm và các đạo hàm của chúng. Một ví dụ về điều này là W (f, g) (t) = | đụđụ((tt)) gg((tt)) |, cung cấp Wronskian cho hai hàm (f và g) được giải cho một giá trị lớn hơn 0 (t); bạn có thể thấy hai hàm f (t) và g (t) ở hàng trên cùng của ma trận và các đạo hàm f (t) và g (t) ở hàng dưới cùng. Lưu ý rằng Wronskian cũng có thể được sử dụng cho các bộ lớn hơn. Ví dụ, nếu bạn kiểm tra ba hàm bằng Wronskian, thì bạn có thể điền vào một ma trận với các hàm và đạo hàm của f (t), g (t) và h (t).
Giải quyết Wronskian
Khi bạn có các hàm được sắp xếp trong một ma trận, nhân chéo từng hàm với đạo hàm của hàm khác và trừ giá trị đầu tiên từ giá trị thứ hai. Đối với ví dụ trên, điều này mang lại cho bạn W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Nếu câu trả lời cuối cùng bằng 0, điều này cho thấy hai hàm phụ thuộc. Nếu câu trả lời là số khác 0, thì các hàm là độc lập.
Ví dụ Wronskian
Để cho bạn biết rõ hơn về cách thức hoạt động của nó, giả sử rằng f (t) = x + 3 và g (t) = x - 2. Sử dụng giá trị t = 1, bạn có thể giải các hàm là f (1) = 4 và g (1) = -1. Vì đây là các hàm tuyến tính cơ bản có độ dốc bằng 1, các đạo hàm của cả f (t) và g (t) bằng 1. Nhân chéo các giá trị của bạn mang lại cho W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), cung cấp kết quả cuối cùng là 5. Mặc dù các hàm tuyến tính đều có cùng độ dốc, chúng độc lập vì các điểm của chúng không trùng nhau. Nếu f (t) đã tạo ra kết quả -1 thay vì 4, Wronskian sẽ cho kết quả bằng 0 thay vì biểu thị sự phụ thuộc.