NộI Dung
- Ma trận, Eigenvalues và Eigenvector: Ý nghĩa của chúng
- Cách tính giá trị bản địa
- Lời khuyên
- Tìm Eigenvector
Khi bạn được trình bày với một ma trận trong lớp toán hoặc vật lý, bạn sẽ được yêu cầu tìm giá trị riêng của nó. Nếu bạn không chắc chắn điều đó có nghĩa là gì hoặc làm như thế nào, thì nhiệm vụ này rất khó khăn và nó liên quan đến rất nhiều thuật ngữ khó hiểu khiến vấn đề trở nên tồi tệ hơn. Tuy nhiên, quá trình tính toán giá trị riêng không quá khó khăn nếu bạn có thể thoải mái với việc giải các phương trình bậc hai (hoặc đa thức), miễn là bạn tìm hiểu các kiến thức cơ bản về ma trận, giá trị riêng và hàm riêng.
Ma trận, Eigenvalues và Eigenvector: Ý nghĩa của chúng
Ma trận là mảng các số trong đó A đại diện cho tên của ma trận chung, như sau:
( 1 3 )
Một = ( 4 2 )
Các số ở mỗi vị trí khác nhau, và thậm chí có thể có các biểu thức đại số ở vị trí của chúng. Đây là ma trận 2 × 2, nhưng chúng có nhiều kích cỡ khác nhau và don luôn có số lượng hàng và cột bằng nhau.
Xử lý ma trận khác với xử lý các số thông thường và có các quy tắc cụ thể để nhân, chia, cộng và trừ chúng với nhau. Các thuật ngữ của E evalvalue và E evvvvv được sử dụng trong đại số ma trận để chỉ hai đại lượng đặc trưng liên quan đến ma trận. Vấn đề eigenvalue này giúp bạn hiểu thuật ngữ này có nghĩa là gì:
Một ∙ v = λ ∙ v
Một là một ma trận chung như trước đây, v là một số vectơ và λ là một giá trị đặc trưng. Nhìn vào phương trình và chú ý rằng khi bạn nhân ma trận với vectơ v, hiệu quả là tái tạo cùng một vectơ chỉ nhân với giá trị λ. Đây là hành vi bất thường và kiếm được véc tơ v và số lượng names tên đặc biệt: eigenvector và eigenvalue. Đây là các giá trị đặc trưng của ma trận vì nhân ma trận với hàm riêng, làm cho vectơ không thay đổi ngoài phép nhân với một hệ số của giá trị riêng.
Cách tính giá trị bản địa
Nếu bạn gặp vấn đề về giá trị riêng cho ma trận ở một dạng nào đó, việc tìm giá trị riêng là dễ dàng (vì kết quả sẽ là một vectơ giống như nguyên bản trừ khi nhân với một yếu tố không đổi - giá trị riêng). Câu trả lời được tìm thấy bằng cách giải phương trình đặc trưng của ma trận:
phát hiệnMột – λTôi) = 0
Ở đâu Tôi là ma trận danh tính, trống ngoài một chuỗi 1 chạy theo đường chéo xuống ma trận. Nhật ký Det liên quan đến yếu tố quyết định của ma trận, mà đối với một ma trận chung:
(a b)
Một = (c d)
Được đưa ra bởi
phát hiện Một = quảng cáo
Vậy phương trình đặc trưng có nghĩa là:
(a - b)
phát hiệnMột – λTôi) = (c d -)) = (a -)) (d -)) - bc = 0
Như một ma trận ví dụ, hãy để xác định Một như:
( 0 1 )
Một = (−2 −3 )
Vậy điều đó có nghĩa là:
phát hiệnMột – λTôi) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Các giải pháp cho λ là các giá trị riêng và bạn giải quyết điều này giống như bất kỳ phương trình bậc hai. Các giải pháp là λ = - 1 và λ = - 2.
Lời khuyên
Tìm Eigenvector
Tìm kiếm người bản địa là một quá trình tương tự. Sử dụng phương trình:
(Một – λ) ∙ v = 0
với từng giá trị riêng mà bạn đã tìm thấy lần lượt. Điều này có nghĩa là:
(a - b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(Một – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Bạn có thể giải quyết điều này bằng cách xem xét lần lượt từng hàng. Bạn chỉ cần tỷ lệ v1 đến v2, bởi vì sẽ có vô số giải pháp tiềm năng cho v1 và v2.