Làm thế nào để tìm Rễ của một đa thức

NộI Dung

• Bao nhiêu rễ?
• Cảnh báo
• Tìm Rễ theo Bao thanh toán: Ví dụ 1
• Tìm Rễ theo Bao thanh toán: Ví dụ 2
• Tìm Rễ bằng cách vẽ đồ thị

Rễ của một đa thức cũng được gọi là số 0 của nó, bởi vì rễ là x các giá trị tại đó hàm bằng không. Khi nói đến việc thực sự tìm ra gốc rễ, bạn có nhiều kỹ thuật theo ý của bạn; bao thanh toán là phương pháp bạn sẽ sử dụng thường xuyên nhất, mặc dù đồ thị cũng có thể hữu ích.

Bao nhiêu rễ?

Kiểm tra thuật ngữ mức độ cao nhất của đa thức - nghĩa là thuật ngữ có số mũ cao nhất. Số mũ đó là bao nhiêu gốc đa thức sẽ có. Vì vậy, nếu số mũ cao nhất trong đa thức của bạn là 2, nó sẽ có hai gốc; nếu số mũ cao nhất là 3, nó sẽ có ba gốc; vân vân

Cảnh báo

Tìm Rễ theo Bao thanh toán: Ví dụ 1

Cách linh hoạt nhất để tìm rễ là bao thanh toán đa thức của bạn càng nhiều càng tốt, và sau đó đặt mỗi số hạng bằng 0. Điều này có ý nghĩa hơn rất nhiều khi bạn đã theo dõi qua một vài ví dụ. Xét đa thức đơn giản x² - 4_x: _

Một cuộc kiểm tra ngắn cho thấy bạn có thể yếu tố x trong cả hai điều khoản của đa thức, cung cấp cho bạn:

x(x – 4)

Đặt mỗi thuật ngữ về không. Điều đó có nghĩa là giải hai phương trình:

x = 0 là thuật ngữ đầu tiên được đặt thành 0 và

x - 4 = 0 là thuật ngữ thứ hai được đặt thành không.

Bạn đã có giải pháp cho nhiệm kỳ đầu tiên. Nếu như x = 0, sau đó toàn bộ biểu thức bằng không. Vì thế x = 0 là một trong những gốc, hay số 0 của đa thức.

Bây giờ, hãy xem xét thuật ngữ thứ hai và giải quyết cho x. Nếu bạn thêm 4 vào cả hai bên, bạn sẽ có:

x - 4 + 4 = 0 + 4, đơn giản hóa thành:

x = 4. Vậy nếu x = 4 thì hệ số thứ hai bằng 0, có nghĩa là toàn bộ đa thức cũng bằng không.

Bởi vì đa thức ban đầu là bậc hai (số mũ cao nhất là hai), bạn biết rằng chỉ có hai gốc có thể có cho đa thức này. Youve đã tìm thấy cả hai, vì vậy tất cả những gì bạn phải làm là liệt kê chúng:

x = 0, x = 4

Tìm Rễ theo Bao thanh toán: Ví dụ 2

Đây là một ví dụ nữa về cách tìm rễ bằng cách bao thanh toán, sử dụng một số đại số ưa thích trên đường đi. Xét đa thức x⁴ - 16. Nhìn nhanh vào số mũ của nó cho bạn thấy rằng cần có bốn gốc cho đa thức này; bây giờ là lúc để tìm thấy chúng.

Bạn có nhận thấy rằng đa thức này có thể được viết lại như là sự khác biệt của hình vuông? Vì vậy, thay vì x⁴ - 16, bạn có:

(x²)² – 4²

Trong đó, sử dụng công thức cho sự khác biệt của hình vuông, các yếu tố sau:

(x² – 4)(x² + 4)

Thuật ngữ đầu tiên, một lần nữa, là một sự khác biệt của hình vuông. Vì vậy, mặc dù bạn không thể tính đến thuật ngữ bên phải hơn nữa, bạn có thể tính đến thuật ngữ bên trái thêm một bước nữa:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Bây giờ là lúc để tìm số không. Nó nhanh chóng trở nên rõ ràng rằng nếu x = 2, yếu tố đầu tiên sẽ bằng không, và do đó toàn bộ biểu thức sẽ bằng không.

Tương tự, nếu x = -2, hệ số thứ hai sẽ bằng 0 và do đó toàn bộ biểu thức cũng vậy.

Vì thế x = 2 và x = -2 là cả hai số 0 hoặc gốc của đa thức này.

Nhưng những gì về nhiệm kỳ cuối cùng? Bởi vì nó có số mũ "2", nên có hai gốc. Nhưng bạn không thể tính đến biểu thức này bằng cách sử dụng các số thực bạn đã quen. Bạn phải sử dụng một khái niệm toán học rất tiên tiến được gọi là số ảo hoặc, nếu bạn thích, số phức. Đó là vượt xa phạm vi thực hành toán học hiện tại của bạn, vì vậy bây giờ đủ để lưu ý rằng bạn có hai gốc thực (2 và -2), và hai gốc tưởng tượng mà bạn sẽ không xác định.

Tìm Rễ bằng cách vẽ đồ thị

Bạn cũng có thể tìm thấy, hoặc ít nhất là ước tính, rễ bằng cách vẽ đồ thị. Mỗi gốc đại diện cho một điểm mà đồ thị của hàm vượt qua x trục. Vì vậy, nếu bạn vẽ biểu đồ và sau đó lưu ý x tọa độ nơi đường thẳng đi qua x trục, bạn có thể chèn ước tính x các giá trị của các điểm đó vào phương trình của bạn và kiểm tra xem bạn đã hiểu đúng chưa.

Hãy xem xét ví dụ đầu tiên bạn làm việc, cho đa thức x² - 4_x_. Nếu bạn vẽ nó ra một cách cẩn thận, bạn sẽ thấy rằng đường kẻ ngang x trục tại x = 0 và x = 4. Nếu bạn nhập từng giá trị này vào phương trình ban đầu, bạn sẽ nhận được:

0² - 4 (0) = 0, vì vậy x = 0 là số 0 hoặc gốc hợp lệ cho đa thức này.

4² - 4 (4) = 0, vì vậy x = 4 cũng là số 0 hoặc gốc hợp lệ cho đa thức này. Và bởi vì đa thức là bậc 2, bạn biết bạn có thể ngừng tìm kiếm sau khi tìm hai gốc.