Cách đơn giản hóa số phức

NộI Dung

• TL; DR (Quá dài; Không đọc)
• Số phức là gì?
• Quy tắc cơ bản cho đại số với số phức
• Chia số phức
• Đơn giản hóa số phức

Đại số thường liên quan đến việc đơn giản hóa các biểu thức, nhưng một số biểu thức khó hiểu hơn so với các biểu thức khác. Số phức liên quan đến số lượng được gọi là Tôi, một số người tưởng tượng của người Viking với tài sản Tôi = √ 1. Nếu bạn chỉ đơn giản là một biểu thức liên quan đến một số phức, thì nó có vẻ nản chí, nhưng đó là một quy trình khá đơn giản một khi bạn học các quy tắc cơ bản.

TL; DR (Quá dài; Không đọc)

Đơn giản hóa các số phức bằng cách tuân theo các quy tắc của đại số với các số phức.

Số phức là gì?

Số phức được xác định bằng cách đưa vào Tôi hạn, đó là căn bậc hai của một trừ. Trong toán học cấp cơ bản, căn bậc hai của số âm don don thực sự tồn tại, nhưng đôi khi chúng xuất hiện trong các bài toán đại số. Dạng chung cho một số phức cho thấy cấu trúc của chúng:

z = một + bi

Ở đâu z dán nhãn số phức một đại diện cho bất kỳ số nào (được gọi là phần thực tế của người Viking) và b đại diện cho một số khác (được gọi là phần trí tưởng tượng của người Viking), cả hai đều có thể dương hoặc âm. Vì vậy, một số phức ví dụ là:

z = 2 −4_i_

Vì tất cả các căn bậc hai của số âm có thể được biểu diễn bằng bội số của Tôi, đây là hình thức cho tất cả các số phức. Về mặt kỹ thuật, một số thông thường chỉ mô tả trường hợp đặc biệt của một số phức trong đó b = 0, vì vậy tất cả các số có thể được coi là phức tạp.

Quy tắc cơ bản cho đại số với số phức

Để cộng và trừ các số phức, chỉ cần thêm hoặc trừ các phần thực và phần ảo một cách riêng biệt. Vì vậy, đối với số phức z = 2 - 4_i_ và w = 3 + 5_i_, tổng là:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)Tôi

= 5 + 1_i_ = 5 + Tôi

Trừ các số hoạt động theo cùng một cách:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)Tôi

= −1 - 9_i_

Phép nhân là một thao tác đơn giản khác với các số phức, bởi vì nó hoạt động giống như phép nhân thông thường ngoại trừ bạn phải nhớ rằng Tôi² = −1. Vì vậy, để tính 3_i_ × 4_i_:

3_i_ × 4_i_ = −12_i_²

Nhưng kể từ khi Tôi²= −1, sau đó:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

Với số phức đầy đủ (sử dụng z = 2 - 4_i_ và w = 3 + 5_i_ lần nữa), bạn nhân chúng theo cùng một cách với các số thông thường như (một + b) (c + Cười mở miệng), sử dụng phương thức đầu tiên, bên trong, bên ngoài, cuối cùng (FOIL), để đưa ra (một + b) (c + Cười mở miệng) = AC + bc + quảng cáo + bd. Tất cả bạn phải nhớ là đơn giản hóa mọi trường hợp Tôi². Ví dụ:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Chia số phức

Chia số phức liên quan đến việc nhân tử số và mẫu số của phân số với liên hợp phức của mẫu số. Liên hợp phức chỉ có nghĩa là phiên bản của số phức với phần ảo được đảo ngược trong dấu. Vì vậy đối với z = 2 - 4_i_, liên hợp phức tạp z = 2 + 4_i_ và cho w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Đối với vấn đề:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Liên hợp cần thiết là w*. Chia tử số và mẫu số cho cái này để cho:

z / w = (2 - 4_i_) (3 5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Và sau đó bạn làm việc như trong phần trước. Tử số cho:

(2 - 4_i_) (3 5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

Và mẫu số cho:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Điều này có nghĩa là:

z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Đơn giản hóa số phức

Sử dụng các quy tắc trên khi cần thiết để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp. Ví dụ:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - Tôi)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ Tôi))

Điều này có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng quy tắc cộng trong tử số, quy tắc nhân trong mẫu số và sau đó hoàn thành phép chia. Đối với tử số:

(4 + 2_i_) + (2 - Tôi) = 6 + Tôi

Đối với mẫu số:

(2 + 2_i _) (2+ Tôi) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Đặt những thứ này trở lại vị trí sẽ cho:

z = (6 + Tôi) / (2 + 6_i_)

Nhân cả hai phần với liên hợp của mẫu số dẫn đến:

z = (6 + Tôi) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ 6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ 36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 17_i_ / 20

Vậy có nghĩa là z đơn giản hóa như sau:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - Tôi)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ Tôi)) = 9/20 17_i_ / 20